PROBLEMA DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Un fabricante de cajas de cartón desea construir una caja rectangular sin tapa a partir de una pieza rectangular de cartón de 20 * 25 cm, para lo cual debe hacer cortes cuadrados en las esquinas y doblar los lados. Determinar de qué medida debe cortarse el cuadrado para que el volumen de la caja sea el máximo posible.

V= x (25 – 2x) (20 – 2x)
V= (25x – 2x^2) (20 – 2x)
V= 500x – 50x^2 – 40x^2 + 4x^3
V= (4x^3 – 90x^2 + 500x)/2
V= 2 (2x^3 – 45x^2 + 250x)

Obtener V´(x)

V´(x)= C d/dx V
V´(x)= 2 [d/dx (2x^3) – d/dx (45x^2) + d/dx (250x)]
V´(x)= 2 (6x^2 – 90x + 250)
V´(x)= 12x^2 – 180x + 500
V´(x)= (12x^2 – 180x + 500)/4
V´(x)= 4 (3x^2 – 45x + 125)

Hacer V¨(x)= 0

3x^2 – 45x + 125 = 0

Resolver V¨(x)= 0, para obtener x0

Ax^2 ± Bx ± C= 0

a= 3
b= -45
c= 125

x= [-b ± √(b^2 – 4ac)]/(2a)
x= {-(-45) ± √[-45^2 – 4 (3) (125)]}/[2 (3)]
x= [45 ± √(2025 – 1500)]/6
x= (45 ± √525)/6
x1= (45 + √525)/6     x1= (45 + 22.91)/6     x1= 67.91/6     x1= 11.31
x2= (45 – √525)/6     x2= (45 – 22.91)/6     x2= 22.09/6     x2= 3.68

Obtener V´´(x)

V´´(x)= C d/dx V
V´´(x)= 4 [d/dx (3x^2) – d/dx (45x) + d/dx (125)]
V´´(x)= 4 (6x – 45)
V´´(x)= 24x – 180

V´´(x1) = 24 (11.31) – 180= 271.44 – 180= 91.44 > 0      Mínimo
V´´(x2) = 24 (3.68) – 180= 88.32 – 180= -91.68 < 0     Máximo

V(x1) = 2 [2 (11.31)^3 – 45 (11.31)^2 + 250 (11.31)]
V(x1) = 2 [2 (1446.73) – 45 (127.9161) + 2827.5]
V(x1) = 2 (2893.26 – 5756.22 + 2827.5)
V(x1) = 2 (-35.46)
V(x1) = -70.92

V(x2) = 2 [2 (3.68)^3 – 45 (3.68)^2 + 250 (3.68)]
V(x2) = 2 [2 (49.83) – 45 (13.54) + 920]
V(x2) = 2 (99.66 – 609.3 + 920)
V(x2) = 2 (410.36)
V(x2) = 820.72